引言

在学习完GPT2之后，从本文开始进入Llama模型系列。

本文介绍Llama模型的改进之RMSNorm(均方根层归一化)。它是由Root Mean Square Layer Normalization论文提出来的，可以参阅其论文笔记¹。

LayerNorm

层归一化(LayerNorm)对Transformer等模型来说非常重要，它可以帮助稳定训练并提升模型收敛性。LayerNorm针对一个样本所有特征计算均值和方差，然后使用这些来对样本进行归一化：
$$\mu =\frac{1}{H}\sum _{i=1}^H{x}_i,\sigma =\sqrt{\frac{1}{H}\sum _{i=1}^H(x_i-\mu {)}^2},N(x)=\frac{x-\mu }{\sigma },h=g\odot N(x)+b\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_H)$表示某个时间步LN层的输入向量表示，向量维度为$H$；$h$实LN层的输出； $g,b$实两个可学习的参数。

为什么层归一化有用？一些解释如下²：

1. 减少内部协变量偏移（Internal Covariate Shift）： 内部协变量偏移是指在深度神经网络的训练过程中，每一层输入的分布会发生变化，导致网络的训练变得困难。层归一化通过对每一层的输入进行归一化处理，可以减少内部协变量偏移，使得每一层的输入分布更加稳定。
2. 稳定化梯度： 层归一化有助于保持每一层输出的均值和方差稳定，从而使得梯度的传播更加稳定。这有助于减少梯度消失或梯度爆炸的问题，提高梯度在网络中的流动性，加快训练速度。
3. 更好的参数初始化和学习率调整： 通过层归一化，每一层的输入分布被归一化到均值为0、方差为1的标准正态分布，这有助于更好地初始化网络参数和调整学习率。参数初始化与学习率调整的稳定性对模型的训练效果至关重要。
4. 增强模型的泛化能力： 层归一化可以减少网络对训练数据分布的依赖，降低了过拟合的风险，从而提高模型的泛化能力。稳定的输入分布有助于模型更好地适应不同数据集和任务。

RMSNorm

虽然LayerNorm很好，但是它每次需要计算均值和方差。RMSNorm的思想就是移除(1)式中$\mu$的计算部分¹：
$${\bar{x}}_i=\frac{x_i}{\text{RMS}(x)}{g}_i\text{RMS}(x)=\sqrt{\frac{1}{H}\sum _{i=1}^H{x}_i^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

同时在实现也可以移除平移偏置$b$。

单看(2)式的话，相当于仅使用$x$的均方根来对输入进行归一化，它简化了层归一化的计算，变得更加高效，同时还有可能带来性能上的提升。

实现

RMSNorm的实现很简单：

import torchimport torch.nn as nnfrom torch import Tensorclass RMSNorm(nn.Module):  def __init__(self, hidden_size: int, eps: float = 1e-6) -> None:    super().__init__()    self.eps = eps    self.weight = nn.Parameter(torch.ones(hidden_size))    def _norm(self, hidden_states: Tensor) -> Tensor:    variance = hidden_states.pow(2).mean(-1, keepdim=True)    return hidden_states * torch.rsqrt(variance + self.eps)    def forward(self, hidden_states: Tensor) -> Tensor:    return self.weight * self._norm(hidden_states.float()).type_as(hidden_states)    

torch.rsqrt是torch.sqrt的倒数；eps是一个很小的数，防止除零；hidden_states.float()确保了标准差计算的精确度和稳定性，然后在forward方法中，通过.type_as(hidden_states)将结果转换回原来的数据类型，以保持与输入张量相同的数据类型，使得归一化处理后的结果与输入数据类型一致。

下面通过一个简单的网络来测试一下：

import torchimport torch.nn as nnfrom torch import Tensorclass SimpleNet(nn.Module):    def __init__(self):        super(SimpleNet, self).__init__()        self.linear = nn.Linear(in_features=10, out_features=5)        self.rmsnorm = RMSNorm(hidden_size=5)    def forward(self, x):        x = self.linear(x)        x = self.rmsnorm(x)        return xnet = SimpleNet()input_data = torch.randn(2, 10)  # 2个样本，每个样本包含10个特征output = net(input_data)print("Input Shape:", input_data.shape)print("Output Shape:", output.shape)

Input Shape: torch.Size([2, 10])Output Shape: torch.Size([2, 5])

参考