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树上倍增 树 图论 并集查找 换根法 深度优先 割点

LeetCode3067. 在带权树网络中统计可连接服务器对数目

给你一棵无根带权树，树中总共有 n 个节点，分别表示 n 个服务器，服务器从 0 到 n - 1 编号。同时给你一个数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi, weighti] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条双向边，边的权值为 weighti 。再给你一个整数 signalSpeed 。
如果两个服务器 a ，b 和 c 满足以下条件，那么我们称服务器 a 和 b 是通过服务器 c 可连接的 ：
a < b ，a != c 且 b != c 。
从 c 到 a 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
从 c 到 b 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
从 c 到 b 的路径与从 c 到 a 的路径没有任何公共边。
请你返回一个长度为 n 的整数数组 count ，其中 count[i] 表示通过服务器 i 可连接 的服务器对的 数目 。

示例 1：

输入：edges = [[0,1,1],[1,2,5],[2,3,13],[3,4,9],[4,5,2]], signalSpeed = 1
输出：[0,4,6,6,4,0]
解释：由于 signalSpeed 等于 1 ，count[c] 等于所有从 c 开始且没有公共边的路径对数目。
在输入图中，count[c] 等于服务器 c 左边服务器数目乘以右边服务器数目。
示例 2：

输入：edges = [[0,6,3],[6,5,3],[0,3,1],[3,2,7],[3,1,6],[3,4,2]], signalSpeed = 3
输出：[2,0,0,0,0,0,2]
解释：通过服务器 0 ，有 2 个可连接服务器对(4, 5) 和 (4, 6) 。
通过服务器 6 ，有 2 个可连接服务器对 (4, 5) 和 (0, 5) 。
所有服务器对都必须通过服务器 0 或 6 才可连接，所以其他服务器对应的可连接服务器对数目都为 0 。

提示：

2 <= n <= 1000
edges.length == n - 1
edges[i].length == 3
0 <= ai, bi < n
edges[i] = [ai, bi, weighti]
1 <= weighti <= 10⁶
1 <= signalSpeed <= 10⁶
输入保证 edges 构成一棵合法的树。

树上倍增

本题有三个考点：
一，如何计算树上两个节点x1,x2的距离。
假定这两个节点的最早公共祖先是pub。以任意节点root为根，f(x)表示节点x到root的距离。
x1到x2的距离：f(x1)+f(x2)-2*f(pub)。
二，如何找到最早公共祖先：树上倍增。
记录各节点的1级祖先（父节点）、2级祖先、4级祖先…
三，如果判断ac和bc有公共边。
树是连通无向无环图，因为无环，所以两个节点的路径唯一。
假设公共边是x3x4。则x3到c的路径唯一，假定x3到c的倒数第二个端点是x5，则ab和bc的最后一条边都是$\overrightarrow{x3c}$。断开所以和c相连的边，如果a和b在同一个连通区域，则有公共边。用并查集看是否在同一个连通区域。
时间复杂度： O(nnlogn)。 枚举c，时间复杂度O(n)；枚举ab，时间复杂度O(n)。查公共路径O(logn)。

并集查找

class CNeiBo{public:		static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 	{		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);			}		}		return vNeiBo;	}		static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)	{		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);			}		}		return vNeiBo;	}};class CUnionFind{public:	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)	{		for (int i = 0; i < iSize; i++)		{			m_vNodeToRegion[i] = i;		}		m_iConnetRegionCount = iSize;	}		CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())	{		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {				Union(i, n);			}		}	}	int GetConnectRegionIndex(int iNode)	{		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];		if (iNode == iConnectNO)		{			return iNode;		}		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);	}	void Union(int iNode1, int iNode2)	{		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)		{			return;		}		m_iConnetRegionCount--;		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)		{			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);		}		else		{			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);		}	}	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)	{		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);	}	int GetConnetRegionCount()const	{		return m_iConnetRegionCount;	}	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量	{		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();		vector<int> vRet(iNodeSize);		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)		{			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;		}		return vRet;	}	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()	{		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)		{			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);		}		return ret;	}private:	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)	{		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;	}	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引	int m_iConnetRegionCount;};class CParents{public:	CParents(vector<int>& vParent, const vector<int>& vLeve):m_vLeve(vLeve)	{		const int iMaxLeve = *std::max_element(vLeve.begin(), vLeve.end());		int iBitNum = 0;		for (; (1 << iBitNum) < iMaxLeve; iBitNum++);		const int n = vParent.size();		m_vParents.assign(iBitNum+1, vector<int>(n, -1));		m_vParents[0] = vParent;		//树上倍增		for (int i = 1; i < m_vParents.size(); i++)		{			for (int j = 0; j < n; j++)			{				const int iPre = m_vParents[i - 1][j];				if (-1 != iPre)				{					m_vParents[i][j] = m_vParents[i - 1][iPre];				}			}		}	}	int GetParent(int iNode, int iLeve)const	{		int iParent = iNode;		for (int iBit = 0; iBit < m_vParents.size(); iBit++)		{			if (-1 == iParent)			{				return iParent;			}			if (iLeve & (1 << iBit))			{				iParent = m_vParents[iBit][iParent];			}		}		return iParent;	}	int GetPublicParent(int iNode1, int iNode2)const	{		int leve0 = m_vLeve[iNode1];		int leve1 = m_vLeve[iNode2];		if (leve0 < leve1)		{			iNode2 = GetParent(iNode2, leve1 - leve0);			leve1 = leve0;		}		else		{			iNode1 = GetParent(iNode1, leve0 - leve1);			leve0 = leve1;		}		//二分查找		int left = -1, r = leve0;		while (r - left > 1)		{			const auto mid = left + (r - left) / 2;			const int iParent0 = GetParent(iNode1, mid);			const int iParent1 = GetParent(iNode2, mid);			if (iParent0 == iParent1)			{				r = mid;			}			else			{				left = mid;			}		}		return GetParent(iNode1, r);	}protected:	vector<vector<int>> m_vParents;	const vector<int> m_vLeve;};class Solution {public:	vector<int> countPairsOfConnectableServers(vector<vector<int>>& edges, int signalSpeed) {		m_c = edges.size() + 1;		m_vDisToRoot.resize(m_c);		m_vParent.resize(m_c);		m_vLeve.resize(m_c);		auto neiBo = CNeiBo::Three(m_c, edges, false, 0);		DFS(neiBo, 0, -1, 0,0);			CParents par(m_vParent,m_vLeve);		vector<int> vRet(m_c);		for (int c = 0; c < m_c; c++)		{			CUnionFind uf(m_c);			for (const auto& v : edges)			{				if ((v[0] == c) || (v[1] == c))				{					continue;				}				uf.Union(v[0], v[1]);			}			vector<int> vRegionCnt(m_c);			for (int ab = 0; ab < m_c; ab++)			{				if (ab == c )				{					continue;				}				const int pub = par.GetPublicParent(ab, c);				const int len = m_vDisToRoot[ab] + m_vDisToRoot[c] - 2 * m_vDisToRoot[pub];				if (0 != len % signalSpeed)				{					continue;				}				vRegionCnt[uf.GetConnectRegionIndex(ab)]++;			}			int&iRet = vRet[c];			const int total = std::accumulate(vRegionCnt.begin(), vRegionCnt.end(), 0);			for (int c1 = 0; c1 < m_c; c1++)			{				iRet += vRegionCnt[c1] * (total - vRegionCnt[c1]);			}				iRet /= 2;		}		return vRet;	}	void DFS(vector<vector<std::pair<int, int>>>& neiBo, int cur, int par,int leve,int dis)	{		m_vDisToRoot[cur] =dis;		m_vParent[cur] = par;		m_vLeve[cur] = leve;		for (const auto& [next,len] : neiBo[cur])		{			if (next == par)			{				continue;			}			DFS(neiBo, next, cur,leve+1,dis+len);		}	}	vector<int> m_vDisToRoot,m_vParent,m_vLeve;	int m_c;};

测试用例

template<class T,class T2>void Assert(const T& t1, const T2& t2){	assert(t1 == t2);}template<class T>void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2){	if (v1.size() != v2.size())	{		assert(false);		return;	}	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)	{		Assert(v1[i], v2[i]);	}}int main(){	vector<vector<int>> edges;	int signalSpeed;	{		Solution sln;		edges = {  }, signalSpeed = 1;		auto res = sln.countPairsOfConnectableServers(edges, signalSpeed);		Assert({ 0 }, res);	}	{		Solution sln;		edges = { {0,1,1} }, signalSpeed = 1;		auto res = sln.countPairsOfConnectableServers(edges, signalSpeed);		Assert({ 0,0 }, res);	}	{		Solution sln;		edges = { {0,1,1},{1,2,1} }, signalSpeed = 1;		auto res = sln.countPairsOfConnectableServers(edges, signalSpeed);		Assert({ 0,1,0 }, res);	}	{		Solution sln;		edges = { {0,1,1},{1,2,5},{2,3,13},{3,4,9},{4,5,2} }, signalSpeed = 1;		auto res = sln.countPairsOfConnectableServers(edges, signalSpeed);		Assert({ 0,4,6,6,4,0 } , res);	}	{		Solution sln;		edges = { {0,6,3},{6,5,3},{0,3,1},{3,2,7},{3,1,6},{3,4,2} }, signalSpeed = 3;		auto res = sln.countPairsOfConnectableServers(edges, signalSpeed);		Assert({ 2,0,0,0,0,0,2 }, res);	}}

换根法DFS

树中删除一个节点，则各孩子各一个连通区域，除自己及后代外一个区域。如果这个节点是根，则简单得多。各孩子一个连通区域。
DSF(cur) 返回自己及子孙到当前根节点距离是signalSpeed 倍的节点数量。令当前根节点各孩子的返回值是{i1,i2,$\cdots$,im} 。i1*i2+(i1+i2)*i3 $\cdots$ +(I1+i2+$\dots$ + i${}_{m-1}$)*im。这样不必除以二。
a<b ，表示a !=b ，(a,b)和(b,a)只取一个。

class CNeiBo{public:		static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 	{		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);			}		}		return vNeiBo;	}		static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)	{		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);			}		}		return vNeiBo;	}};class Solution {public:	vector<int> countPairsOfConnectableServers(vector<vector<int>>& edges, int signalSpeed) {		m_c = edges.size() + 1;		m_iSignalSpeed = signalSpeed;				auto neiBo = CNeiBo::Three(m_c, edges, false, 0);				vector<int> vRet(m_c);		for (int c = 0; c < m_c; c++)		{			int& iRet = vRet[c];			int left = 0;			for (const auto& [next, len] : neiBo[c])			{				int cur = DFS(neiBo, next, c, len);				iRet += left * cur;				left += cur;			}		}		return vRet;	}	int DFS(vector<vector<std::pair<int, int>>>& neiBo, int cur, int par,int dis)	{		int iRet = (0 ==dis % m_iSignalSpeed);		for (const auto& [next,len] : neiBo[cur])		{			if (next == par)			{				continue;			}			iRet +=DFS(neiBo, next, cur,dis+len);		}		return iRet;	}	int m_iSignalSpeed;	int m_c;};

割点

本解法过于复杂，除非用了提前封装好的割点扩展类，否则被使用。

class CNeiBo{public:		static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 	{		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);			}		}		return vNeiBo;	}		static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)	{		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);		for (const auto& v : edges)		{			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);			if (!bDirect)			{				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);			}		}		return vNeiBo;	}};class CUnionFind{public:	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)	{		for (int i = 0; i < iSize; i++)		{			m_vNodeToRegion[i] = i;		}		m_iConnetRegionCount = iSize;	}		CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())	{		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {				Union(i, n);			}		}	}	int GetConnectRegionIndex(int iNode)	{		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];		if (iNode == iConnectNO)		{			return iNode;		}		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);	}	void Union(int iNode1, int iNode2)	{		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)		{			return;		}		m_iConnetRegionCount--;		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)		{			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);		}		else		{			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);		}	}	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)	{		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);	}	int GetConnetRegionCount()const	{		return m_iConnetRegionCount;	}	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量	{		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();		vector<int> vRet(iNodeSize);		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)		{			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;		}		return vRet;	}	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()	{		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)		{			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);		}		return ret;	}private:	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)	{		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;	}	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引	int m_iConnetRegionCount;};class CParents{public:	CParents(vector<int>& vParent, const int iMaxLeve)	{			int iBitNum = 0;		for (; (1 << iBitNum) < iMaxLeve; iBitNum++);		const int n = vParent.size();		m_vParents.assign(iBitNum+1, vector<int>(n, -1));		m_vParents[0] = vParent;		//树上倍增		for (int i = 1; i < m_vParents.size(); i++)		{			for (int j = 0; j < n; j++)			{				const int iPre = m_vParents[i - 1][j];				if (-1 != iPre)				{					m_vParents[i][j] = m_vParents[i - 1][iPre];				}			}		}	}	int GetParent(int iNode, int iLeve)const	{		int iParent = iNode;		for (int iBit = 0; iBit < m_vParents.size(); iBit++)		{			if (-1 == iParent)			{				return iParent;			}			if (iLeve & (1 << iBit))			{				iParent = m_vParents[iBit][iParent];			}		}		return iParent;	}	protected:	vector<vector<int>> m_vParents;};class C2Parents : CParents{public:	C2Parents(vector<int>& vParent, const vector<int>& vLeve) :m_vLeve(vLeve)		, CParents(vParent,*std::max_element(vLeve.begin(), vLeve.end()))	{			}		int GetPublicParent(int iNode1, int iNode2)const	{		int leve0 = m_vLeve[iNode1];		int leve1 = m_vLeve[iNode2];		if (leve0 < leve1)		{			iNode2 = GetParent(iNode2, leve1 - leve0);			leve1 = leve0;		}		else		{			iNode1 = GetParent(iNode1, leve0 - leve1);			leve0 = leve1;		}		//二分查找		int left = -1, r = leve0;		while (r - left > 1)		{			const auto mid = left + (r - left) / 2;			const int iParent0 = GetParent(iNode1, mid);			const int iParent1 = GetParent(iNode2, mid);			if (iParent0 == iParent1)			{				r = mid;			}			else			{				left = mid;			}		}		return GetParent(iNode1, r);	}protected:	vector<vector<int>> m_vParents;	const vector<int> m_vLeve;};class CCutPointEx{public:	CCutPointEx(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size())	{		m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1);		m_vChildFirstEnd.resize(m_iSize);		m_vNodeToRegion.assign(m_iSize, -1);		m_vCut.assign(m_iSize, false);		for (int i = 0; i < m_iSize; i++)		{			if (-1 != m_vNodeToTime[i])			{				continue;			}			dfs(i, -1, vNeiB);			m_iRegionCount++;		}		m_vTimeToNode.resize(m_iSize);		for (int i = 0; i < m_iSize; i++)		{			m_vTimeToNode[m_vNodeToTime[i]] = i;;		}	}	bool Visit(int src, int dest, int iCut)const	{		if (m_vNodeToRegion[src] != m_vNodeToRegion[dest])		{			return false;//不在一个连通区域		}		if (!m_vCut[iCut])		{			return true;		}		const int r1 = GetCutRegion(iCut, src);		const int r2 = GetCutRegion(iCut, dest);		return r1 == r2;	}	vector<vector<int>> GetSubRegionOfCut(const int iCut)const	{//删除iCut及和它相连的边后，iCut所在的区域会分成几个区域：父节点一个区域、各子节点一个区域	 //父节点所在区域可能为空，如果iCut所在的连通区域只有一个节点，则返回一个没有节点的区域。		const auto& v = m_vChildFirstEnd[iCut];		vector<vector<int>> vRet(1);					int j = 0;		for (int iTime=0;iTime < m_iSize; iTime++ )		{			const int iNode	= m_vTimeToNode[iTime];			if ((j < v.size()) && ( iTime  >= v[j].first ))			{				j++;				vRet.emplace_back();			}			if ((iCut != iNode) && (m_vNodeToRegion[iNode] == m_vNodeToRegion[iCut]))			{				if (v.size()&&(iTime >= v.back().second))				{					vRet[0].emplace_back(iNode);				}				else				{					vRet.back().emplace_back(iNode);				}			}		}		return vRet;	}protected:	int dfs(int cur, int parent, const vector<vector<int>>& vNeiB)	{		auto& curTime = m_vNodeToTime[cur];		m_vNodeToRegion[cur] = m_iRegionCount;		curTime = m_iTime++;		int iCutChild = 0;		int iMinTime = curTime;		for (const auto& next : vNeiB[cur])		{			if (-1 != m_vNodeToTime[next])			{				iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]);				continue;			}			int iChildBeginTime = m_iTime;			const int iChildMinTime = dfs(next, cur, vNeiB);			iMinTime = min(iMinTime, iChildMinTime);			if (iChildMinTime >= curTime)			{				iCutChild++;				m_vChildFirstEnd[cur].push_back({ iChildBeginTime,m_iTime });			};		}		m_vCut[cur] = (iCutChild + (-1 != parent)) >= 2;		return iMinTime;	}	int GetCutRegion(int iCut, int iNode)const	{		const auto& v = m_vChildFirstEnd[iCut];		auto it = std::upper_bound(v.begin(), v.end(), m_vNodeToTime[iNode], [](int time, const std::pair<int, int>& pr) {return time < pr.first; });		if (v.begin() == it)		{			return v.size();		}		--it;		return (it->second > m_vNodeToTime[iNode]) ? (it - v.begin()) : v.size();	}	int m_iTime = 0;	const int m_iSize;//时间戳	int m_iRegionCount = 0;	vector<int> m_vNodeToTime;//各节点到达时间，从0开始。 -1表示未处理	vector<bool> m_vCut;//是否是割点	vector<int> m_vNodeToRegion;//各节点所在区域	vector<vector<pair<int, int>>> m_vChildFirstEnd;//左闭右开空间[0,m_vChildFirstEnd[0].first)和[m_vChildFirstEnd.back().second,iSize)是一个区域	vector<int> m_vTimeToNode;};

DFS代替树上倍增

时间复杂度的瓶颈在 树上倍增。

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关

下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 **C+

+17**
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。